【題目】已知函數(shù),曲線的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求,并證明;
(2)若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析; (2).
【解析】
(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求得,得到函數(shù)的解析式,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解;
(2)把對(duì)任意的恒成立等價(jià)于對(duì)任意的恒成立,
令,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.
(1)根據(jù)題意,函數(shù),則,則,
由切線方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)為,將其代入,解得,
故,則,
則,得,
,函數(shù)單調(diào)遞減;
,函數(shù)單調(diào)遞增;
所以,所以.
(2)由對(duì)任意的恒成立等價(jià)于對(duì)任意的恒成立,
令,
得,
由(1)可知,當(dāng)時(shí),恒成立,
令,得;,得,
所以的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,
故,所以.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“黃梅時(shí)節(jié)家家雨”“梅雨如煙暝村樹”“梅雨暫收斜照明”……江南梅雨的點(diǎn)點(diǎn)滴滴都流潤著濃烈的詩情.每年六、七月份,我國長江中下游地區(qū)進(jìn)入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié),如圖是江南鎮(zhèn)2009~2018年梅雨季節(jié)的降雨量(單位:)的頻率分布直方圖,試用樣本頻率估計(jì)總體概率,解答下列問題:
“梅實(shí)初黃暮雨深”.請(qǐng)用樣本平均數(shù)估計(jì)鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量;
“江南梅雨無限愁”.鎮(zhèn)的楊梅種植戶老李也在犯愁,他過去種植的甲品種楊梅,他過去種植的甲品種楊梅,畝產(chǎn)量受降雨量的影響較大(把握超過八成).而乙品種楊梅2009~2018年的畝產(chǎn)量(/畝)與降雨量的發(fā)生頻數(shù)(年)如列聯(lián)表所示(部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失).請(qǐng)你幫助老李排解憂愁,他來年應(yīng)該種植哪個(gè)品種的楊梅受降雨量影響更?
(完善列聯(lián)表,并說明理由).
畝產(chǎn)量\降雨量 | 合計(jì) | ||
<600 | 2 | ||
1 | |||
合計(jì) | 10 |
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.703 |
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的三個(gè)頂點(diǎn),,,其外接圓為.對(duì)于線段上的任意一點(diǎn),
若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn),使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn),則的半徑的取值范圍__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若對(duì)任意實(shí)數(shù),關(guān)于的方程:總有實(shí)數(shù)解,求的取值范圍;
(2)若,求使關(guān)于的方程:有三個(gè)實(shí)數(shù)解的的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某幾何體的三視圖中,俯視圖是邊長為2的正三角形,正視圖和左視圖分別為直角梯形和直角三角形,則該幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】基于移動(dòng)互聯(lián)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一,短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國,帶給人們新的出行體驗(yàn).某共享單車運(yùn)營公司的市場(chǎng)研究人員為了解公司的經(jīng)營狀況,對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
月份 | 2017.8 | 2017.9 | 2017.10 | 2017.11 | 2017.12 | 2018.1 |
月份代碼x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
市 場(chǎng)占有率y(%) | 11 | 13 | 16 | 15 | 20 | 21 |
(1)請(qǐng)?jiān)诮o出的坐標(biāo)紙中作出散點(diǎn)圖;
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)該公司2018年2月份的市場(chǎng)占有率;
參考公式:回歸直線方程為 其中:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且.
(1)確定的解析式;
(2)判斷在上的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)解關(guān)于的不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種植園在芒果臨近成熟時(shí),隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果,其質(zhì)量(單位:克)分別在,,,,,中,經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示.
(1)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為,的芒果中隨機(jī)抽取6個(gè),再從這6個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè),求這3個(gè)芒果中恰有1個(gè)在內(nèi)的概率;
(2)某經(jīng)銷商來收購芒果,以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值,用樣本估計(jì)總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè),經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案:
方案:所有芒果以10元/千克收購;
方案:對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購,高于或等于250克的以3元/個(gè)收購.
通過計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng),前n項(xiàng)和滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列,且,,也是等比數(shù)列,若數(shù)列單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若數(shù)列、都是等比數(shù)列,且滿足,試證明: 數(shù)列中只存在三項(xiàng).
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