Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）若，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用a₃，a₆，a₁₂依次成等比數(shù)列，可求數(shù)列的公差，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用累加法，可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用放縮、累加，即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則
∵a₃，a₆，a₁₂依次成等比數(shù)列
∴，
∴1+5d=2（1+2d）
∴d=1，∴a_n=n．…．（3分）
（Ⅱ）解：．
則．…（7分）
（Ⅲ）證明：，
而．
所以．…．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．