（2013•廣州一模）甲，乙，丙三位學(xué)生獨立地解同一道題，甲做對的概率為
1
2
，乙，丙做對的概率分別為m，n（m＞n），且三位學(xué)生是否做對相互獨立．記ξ為這三位學(xué)生中做對該題的人數(shù)，其分布列為：
ξ 0 1 2 3
P
1
4
 a b
1
24
（1）求至少有一位學(xué)生做對該題的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的數(shù)學(xué)期望．
分析：（1）利用“至少有一位學(xué)生做對該題”事件的對立事件的概率即可得出；
（2）利用P（ξ=0）與P（ξ=3）的概率即可得出m，n；
（3）利用（2）及a=P(ξ=1)=P(A
.
B
.
C
)+P(
.
A
B
.
C
)+P(
.
A
.
B
C)與b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）即可得出a，b．
解答：解：設(shè)“甲做對”為事件A，“乙做對”為事件B，“丙做對”為事件C，
由題意知，P(A)=
1
2
，P(B)=m，P(C)=n．
（1）由于事件“至少有一位學(xué)生做對該題”與事件“ξ=0”是對立的，
所以至少有一位學(xué)生做對該題的概率是1-P(ξ=0)=1-
1
4
=
3
4
．
（2）由題意知P(ξ=0)=P(
.
A
.
B
.
C
)=
1
2
(1-m)(1-n)=
1
4
，
           P(ξ=3)=P(ABC)=
1
2
mn=
1
24
，
整理得  mn=
1
12
，m+n=
7
12
．
由m＞n，解得m=
1
3
，n=
1
4
．
（3）由題意知a=P(ξ=1)=P(A
.
B
.
C
)+P(
.
A
B
.
C
)+P(
.
A
.
B
C)=
1
2
(1-m)(1-n)+
1
2
m(1-n)+
1
2
(1-m)n=
11
24
，
b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=
1
4
，
∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×
1
4
+1×
11
24
+2×
1
4
+3×
1
24
=
13
12
．
點評：本小題主要考查相互獨立事件的概率、利用對立事件的概率求概率的方法、離散型隨機變量的均值等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理、推理論證、運算求解能力和應(yīng)用意識．
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（2013•廣州一模）
∫
1
0
cosxdx=
sin1
sin1
．

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（2013•廣州一模）已知經(jīng)過同一點的n（n∈N*，n≥3）個平面，任意三個平面不經(jīng)過同一條直線．若這n個平面將空間分成f（n）個部分，則f（3）=
8
8
，f（n）=
n2-n+2
n2-n+2
．

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（2013•廣州一模）函數(shù)f(x)=
2-x
+ln(x-1)的定義域為
（1，2]
（1，2]
．

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（2013•廣州一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，點M為PC的中點．
（1）求證：PA∥平面BMD；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）若AB=PD=2，求點A到平面BMD的距離．

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（2013•廣州一模）已知n∈N*，設(shè)函數(shù)fn(x)=1-x+
x2
2
-
x3
3
+…-
x2n-1
2n-1
，x∈R．
（1）求函數(shù)y=f2（x）-kx（k∈R）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在整數(shù)t，對于任意n∈N*，關(guān)于x的方程fn（x）=0在區(qū)間[t，t+1]上有唯一實數(shù)解？若存在，求t的值；若不存在，說明理由．

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