已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列.設(shè)，，數(shù)列滿足；

（Ⅰ）求證：數(shù)列成等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）若對(duì)一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或 .

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 本小題首先數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再代入即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義來判斷其為等差數(shù)列；

(Ⅱ) 本小題首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可知對(duì)其求和需用錯(cuò)位相減求和的方法，于是求得該數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）本小題首先分析對(duì)一切正整數(shù)恒成立，等價(jià)于，于是就分析數(shù)列的單調(diào)性，求得其的最大項(xiàng)，代入解不等式即可.

試題解析：（Ⅰ）由已知可得，，

為等差數(shù)列，其中.                        5分

（Ⅱ）

       ①          

  ②

-②得

                                9分

（Ⅲ）

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

，

若對(duì)一切正整數(shù)恒成立，則即可

，即或.                    14分

考點(diǎn)：1.等差等比數(shù)列；2.錯(cuò)位相減求和；3.恒成立問題.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的平方差是同一個(gè)常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，求證：該數(shù)列是常數(shù)列；
（Ⅱ）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an2=2n+1bn．若不等式2n•Sn＞m•2n-2an2對(duì)?n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的平方差是同一個(gè)常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差．

（Ⅰ）若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，求證：該數(shù)列是常數(shù)列；

（Ⅱ）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公方差為的等方差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．若不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省荊州市公安縣三中高三（上）元月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的平方差是同一個(gè)常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，求證：該數(shù)列是常數(shù)列；
（Ⅱ）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足．若不等式對(duì)?n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

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