Question

（12分）已知橢圓.過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于

，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；

（2）將表示為的函數(shù)，并求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為

（2）當(dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.

【解析】

試題分析：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知a=2,b=1,,顯然易求焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率，但要注意焦點(diǎn)在x軸上.

（2）因?yàn)檫^點(diǎn)(m,0)作圓的切線，所以此點(diǎn)在圓上或在圓外，因而要對m的范圍進(jìn)行討論.

然后設(shè)過點(diǎn)(m,0)的直線l的方程，根據(jù)直線l與圓相切，可得直線l的斜率，再與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和判別式，弦長公式求得弦長|AB|與m的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求得最大值.

（1）由已知得所以

所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為

（2）由題意知，.

當(dāng)時(shí)，切線的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為

此時(shí)當(dāng)m=－1時(shí)，同理可得

當(dāng)時(shí)，設(shè)切線的方程為

由

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則

又由與圓

所以

由于當(dāng)時(shí)，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314480316778425/SYS201301131449137771906552_DA.files/image025.png">且當(dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，基本不等式求最值.

點(diǎn)評(píng)：本小題第（2）問綜合性解決起來難度大，第一個(gè)要注意的時(shí)點(diǎn)(m,0)在圓上或圓外，因而要對m=1,m=-1,|m|>1三情況進(jìn)行討論求|AB|的弦長，表示出弦長|AB|關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式后還要注意適用基本不等式求最值.