Question

已知：數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，a_n+S_n=n，數(shù)列{b_n}中b₁=a₁，b_n+1=a_n+1-a_n，
（1）寫出數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并加以證明；
（3）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）分別令n=1，2，3，4，即可求得數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)；
（2）猜想：an=1-

1

2n

，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=k+1時(shí)，利用ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)-ak+1-k+ak=-ak+1+1+1-

1

2k

，即可證得；
（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合b_n+1=a_n+1-a_n，可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵a_n+S_n=n，∴n=1時(shí)，a1=

1

2

n=2時(shí)，a₂+S₂=2，∴a2=

3

4

n=3時(shí)，a₃+S₃=3，∴a3=

7

8

n=4時(shí)，a₄+S₄=4，∴a4=

15

16

；…（2分）
（2）猜想：an=1-

1

2n

，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：…（3分）
①當(dāng)n=1時(shí)，a1=1-

1

21

=

1

2

，猜想成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即ak=1-

1

2k

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)-ak+1-k+ak=-ak+1+1+1-

1

2k

，
即2ak+1=2-

1

2k

，∴ak+1=1-

1

2k+1

，即當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，
∴由①②知：n∈N^*時(shí)an=1-

1

2n

都成立．…（8分）
（3）∵b_n+1=a_n+1-a_n，∴bn=an-an-1=

1

2n

（n≥2），
∵b1=a1=

1

2

，∴bn=

1

2n

（n∈N^*）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法，利用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意其兩個(gè)步驟及一個(gè)結(jié)論