Question

如圖：設(shè)一正方形紙片ABCD邊長(zhǎng)為m，從此紙片中裁剪出一個(gè)正方形和四個(gè)全等的等腰三角形，恰好能做成一個(gè)正四棱錐（粘接損耗不計(jì)），圖中AH⊥PQ，O為正四棱錐底的中心
（1）若正四棱錐的棱長(zhǎng)都相等，求這個(gè)正四棱錐的體積V；
（2）設(shè)等腰三角形底角為x，試把正四棱錐側(cè)面積S表示為x的函數(shù)，并求S的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為y，由條件知為△APQ等邊三角形，又AH⊥PQ，AH=y，∴，再由2AH+y=AC得∴根據(jù)體積公式求解．
（2）按照（1）的思路：則有AH=由2AH+y=AC得，再由側(cè)面積公式建立模型．用導(dǎo)數(shù)研究最值．
解答：解：（1）設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為y，由條件知為△APQ等邊三角形，又AH⊥PQ，
∴AH=y，
∵OH=∴
由2AH+y=AC得
∴=
（2）設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為y
則AH=由2AH+y=AC得，
∴即為所求表達(dá)式，
∵
∴tanx＞1
令t=tanx則
由恒成立知
函數(shù)在（1，+∞）上為減函數(shù)．
∴即為所求的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查通過(guò)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，來(lái)考查如何尋求各邊之間量的關(guān)系及求幾何體的體積和表面積問(wèn)題．