Question

17．已知函數(shù)f（x）=xlnx（e為無(wú)理數(shù)，e≈2.718）
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)$a＞\frac{1}{2e}$，求函數(shù)f（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（e），f′（e）的值，從而求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=lnx+1，
f（e）=e又f'（e）=2，
∴函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為：
y=2（x-e）+e，即y=2x-e------（4分）
（2）∵f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，$得x=\frac{1}{e}$，
$當(dāng)x∈（{0，\frac{1}{e}}）$時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)$a≥\frac{1}{e}時(shí)，f（x）在[a，2a]單調(diào)遞增，{[f（x）]_{min}}=f（a）=alna$，
$當(dāng)\frac{1}{2e}＜a＜\frac{1}{e}時(shí)，得a＜\frac{1}{e}＜2a，{[f（x）]_{min}}=f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$…..（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，是一道中檔題．