Question

（2012•安徽模擬）對(duì)于函數(shù)f（x）=-2cosx，x∈[0，π]與函數(shù)g（x）=

1

2

x2+lnx有下列命題：
①無(wú)論函數(shù)f（x）的圖象通過怎樣的平移所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)都不會(huì)是奇函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象與兩坐標(biāo)軸及其直線x=π所圍成的封閉圖形的面積為4；
③方程g（x）=0有兩個(gè)根；
④函數(shù)g（x）圖象上存在一點(diǎn)處的切線斜率小于0；
⑤若函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g（x）在點(diǎn)Q處的切線，則直線PQ的斜率為

1

2-π

，其中正確的命題是

②⑤

．（把所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：函數(shù)向左平移

π

2

個(gè)單位所得的為奇函數(shù)；函數(shù) f（x）的圖象與坐標(biāo)軸及其直線x=π 所圍成的封閉圖形的面積為2

∫

π 2 0

(2cosx)dx=4；函數(shù)g(x)=

1

2

x2+lnx的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)；同時(shí)要使函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g（x）在點(diǎn)Q處的切線只有f'（x）=g'（x）=2，所以kPQ=

1

2-π

．

解答：解：函數(shù)向左平移

π

2

個(gè)單位所得的為奇函數(shù)，故①錯(cuò)；
函數(shù) f（x）的圖象與坐標(biāo)軸及其直線x=π
所圍成的封閉圖形的面積為2

∫

π 2 0

(2cosx)dx=4，故②對(duì)；
函數(shù)g(x)=

1

2

x2+lnx的導(dǎo)函數(shù)g′(x)=x+

1

x

≥2，
所以函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故③與④錯(cuò)；
同時(shí)要使函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g（x），
在點(diǎn)Q處的切線只有f'（x）=g'（x）=2，
這時(shí)P(

π

2

，0)，Q(1，

1

2

)，
所以kPQ=

1

2-π

，⑤正確．
故答案為：②⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，具體涉及到三角函數(shù)的圖象的平移變換、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用、增函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線的斜率等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．