Question

7．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3，D、E分別是BC、AB的中點，F(xiàn)是CC₁上一點，且CF=2C₁F．
（1）求證：C₁E∥平面ADF；
（2）若BC=2，求證：B₁F⊥平面ADF．

Answer 1

分析 （1）（證法一）連接CE與AD交于點H，連接FH，可得H是△ABC的重心，可得C₁E∥FH，即可證明C₁E∥平面ADF．
（證法二）取BD中點H，連接EH，C₁H．利用中位線定理可得：EH∥AD．可得：EH∥平面ADF，C₁H∥DF，同理C₁H∥平面ADF．即可證明平面C₁EH∥平面ADF，即可證明．
（2）利用等腰三角形的性質、直三棱柱的性質、線面垂直的判定與性質定理可得△B₁C₁F≌△FCD，
可得B₁F⊥FD，進而證明B₁F⊥平面ADF．

解答 證明：（1）（證法一）連接CE與AD交于點H，連接FH．
因為D是BC的中點，E是AB中點，
所以H是△ABC的重心，
所以CH=2EH，
又因為CF=2C₁F，
所以C₁E∥FH，
因為FH?平面ADF，C₁E?平面ADF，
所以C₁E∥平面ADF．
（證法二）取BD中點H，連接EH，C₁H．
因為H是BD的中點，E是AB中點，所以EH∥AD，
因為AD?平面ADF，EH?平面ADF，所以EH∥平面ADF，
又因為CF=2C₁F，CD=2DH，所以C₁H∥DF，同理C₁H∥平面ADF，
∵EH∩C₁H=H，所以平面C₁EH∥平面ADF，
又C₁E?平面C₁EH，所以C₁E∥平面ADF．
（2）因為AB=AC且D是BC中點，∴AD⊥BC，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥AD
又AD⊥BC，BB∩BC=B，∴AD⊥平面B₁BCC₁，∴AD⊥B₁F，
∵CC₁=3，CF=2C₁F，∴CF=2，C₁F=1，
在△B₁C₁F與△FCD中，∴B₁C₁=FC=2，C₁F=CD=1，∠B₁C₁F=∠FCD，
∴△B₁C₁F≌△FCD，
∴∠C₁B₁F=∠CFD，∴∠C₁FB₁+∠CFD=90°，∴B₁F⊥FD，
∵FD∩AD=D，∴B₁F⊥平面ADF．

點評 本題考查了空間位置關系、線面平行與垂直的判定性質定理、三角形中位線定理、三角形重心的性質定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．