Question

12．已知圓柱形罐頭盒的容積是V（定數(shù)），問(wèn)它的高與底面半徑多大時(shí)罐頭盒的表面積最小？

Answer 1

分析 設(shè)半徑為R，高為h，根據(jù)圓柱的體積公式求出半徑和高的關(guān)系，求出罐頭盒的表面積最，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：V=πR²H，H=V/（πR²） S=2πR²+2πRH=2πR²+2πRV/（πR²）=2πR²+2V/R，S'=4πR-2V/R²，S'=0，4πR-2V/R²=0，R³=V/（2π），R=[V/（2π）]開(kāi)立方，H=V/（πR²）=2R=[V/（2π）]開(kāi)立方×2，（高=2×底面半徑）．
設(shè)半徑為R，高為h，
則由圓柱的體積公式得πR²h=V，
即h=$\frac{V}{π{R}^{2}}$，
則底面積為2πR²，側(cè)面積：2πRh=2πR•$\frac{V}{π{R}^{2}}$=$\frac{2V}{R}$，
則表面積S=2πR²+$\frac{2V}{R}$，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)S′=4πR-$\frac{2V}{{R}^{2}}$=$\frac{4π{R}^{3}-2V}{{R}^{2}}$，
由y′=0，得4πR³=2V，即R³=$\frac{V}{2π}$，即R=$\root{3}{\frac{V}{2π}}$，
即當(dāng)R＞$\root{3}{\frac{V}{2π}}$時(shí)，S′＞0，當(dāng)0＜R＜$\root{3}{\frac{V}{2π}}$時(shí)，S′＜0，
即當(dāng)R=$\root{3}{\frac{V}{2π}}$時(shí)，函數(shù)取得極小值同時(shí)也是最小值．此時(shí)罐頭盒的表面積最小，
此時(shí)高h(yuǎn)=$\frac{V}{π{R}^{2}}$=$\frac{V}{π（\root{3}{\frac{V}{2π}}）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查生活中的優(yōu)化問(wèn)題，根據(jù)條件求出函數(shù)的表達(dá)式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．