（1）證明：P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式為d=
|Ax0+By0+C|
A2+B2
．
（2）已知：在空間直角坐標(biāo)系中，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（其中A，B，C，D為常數(shù)，且A，B，C不全為零）表示平面，
n
=(A，B，C)為該平面的一個(gè)法向量．請(qǐng)類比點(diǎn)到直線的距離公式，寫出空間的點(diǎn)P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距離公式，并為加以證明．
分析：（1）證法一利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，求出
PR
在直線的單位法向量上的投影的絕對(duì)值即可；
證法二：設(shè)A≠0，B≠0，這時(shí)l與x軸、y軸都相交，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，交l于點(diǎn)R（x1，y0）；作y軸的平行線，交l于點(diǎn)S（x0，y2），分別求出|
RS
|、|
PR
|、|
PS
|由三角形面積公式可知：d•|
RS
|=|
PR
|•|
PS
|即可得出．
（2）類比（1）的證明方法和結(jié)論，可設(shè)R（x，y，z）是平面Ax+By+Cz+D=0上任意一點(diǎn)，
n
=(A，B，C)為該平面的一個(gè)法向量，
PR
=(x-x0，y-y0，z-z0)，
Ax+By+Cz=-D，再利用公式d=
|
PR
•
n
|
|
n
|
即可得出．
解答：（1）證法一：設(shè)R是直線上任意一點(diǎn)，則R（x，y），直線的方向向量為
m
=(-B，A)，則可取直線法向量為
PQ
=(A，B)，
PR
=(x-x0，y-y0)，（提醒Q不一定在直線上），
∴d=
|
PR
•
PQ
|
|
PQ
|
=
|A(x-x0)+B(y-y0)|
A2+B2
=
|Ax0+By0+C|
A2+B2
．
證法二：設(shè)A≠0，B≠0，這時(shí)l與x軸、y軸都相交，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，交l于點(diǎn)R（x1，y0）；
作y軸的平行線，交l于點(diǎn)S（x0，y2），
由
A1x1+By0+C=0
Ax0+By2+C=0
得x1=
-By0-C
A
，y2=
-Ax0-C
B
．
∴|
PR
|=|x0-x1|=|
Ax0+By0+C
A
|，
|
PS
|=|y0-y2|=|
Ax0+By0+C
B
|，
|
RS
|=
PR2+PS2
=
A2+B2
|AB|
×|Ax0+By0+C|
由三角形面積公式可知：d•|
RS
|=|
PR
|•|
PS
|
∴d=
|Ax0+By0+C|
A2+B2

可證明，當(dāng)A=0時(shí)仍適用．
（2）d=
|Ax0+By0+Cz0+D|
A2+B2+C2
，
設(shè)R（x，y，z）是平面Ax+By+Cz+D=0上任意一點(diǎn)，
∵
n
=(A，B，C)為該平面的一個(gè)法向量，
PR
=(x-x0，y-y0，z-z0)，Ax+By+Cz=-D
∴d=
|
PR
•
n
|
|
n
|
=
|A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)|
A2+B2+C2
=
|Ax0+By0+Cz0+D|
A2+B2+C2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式與點(diǎn)到平面的距離公式d=
|
PR
•
n
|
|
n
|
的證明方法、類比推理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

拋物線C的方程為y=ax2（a＜0），過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P（x0，y0）（x0≠0）作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線C于A（x1，y1）B（x2，y2）兩點(diǎn)（P，A，B三點(diǎn)互不相同），且滿足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足
BM
=λ
MA
，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；
（Ⅲ）當(dāng)λ=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4x-a
1+x2
在區(qū)間[m，n]上為增函數(shù)，且f（m）f（n）=-4．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求m，n的值；
（2）當(dāng)f（n）-f（m）最小時(shí)，
①求a的值；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n）是f（x）圖象上的兩點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)x0使得f′(x0)=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
，證明：x1＜x0＜x2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

拋物線C的方程為y=ax2（a＜0），過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P（x0，y0）（x0≠0）作斜率為k1、k2的兩條直線分別交拋物線C于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同），且滿足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1），
（1）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足
BM
=λ
MA
，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y1的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-ax（a∈R）．
（Ⅰ） 寫出函數(shù)y=f（x）的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）直線L為函數(shù)y=φ（x）的圖象上任意一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線（P為切點(diǎn)），如果函數(shù)y=φ（x）圖象上所有的點(diǎn)（點(diǎn)P除外）總在直線L的同側(cè)，則稱函數(shù)y=φ（x）為“單側(cè)函數(shù)”．
（i）當(dāng)a=
1
2
判斷函數(shù)y=f（x）是否為“單側(cè)函數(shù)”，若是，請(qǐng)加以證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（i i）求證：當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)，ex+
1
2
x≥ln（
1
2
x+1）+1．

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