Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且同時(shí)滿足以下①②③三個(gè)條件：
①f（1）=3；
②f（x）≥2對(duì)一切x∈[0，1]恒成立；
③若a≥0，b≥0，a+b≤1，則f（a+b）≥f（a）+f（b）-2．
（1）求f（0）；
（2）設(shè)x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，試證明f（x₁）≤f（x₂）并利用此結(jié)論求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（3）試比較f（

1

2″

）與

1

2″

+2（n∈N）的大小，并證明對(duì)一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，令a=b=0，結(jié)合f（x）≥2對(duì)一切x∈[0，1]恒成立，我們可以求出f（0）；
（2）利用f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2，我們可證得結(jié)論；
（3）利用賦值法，再進(jìn)行放縮，可得f(

1

2n

)≤

1

2n

+2，對(duì)?x∈（0，1]，總存在n∈N，滿足

1

2n+1

＜x≤

1

2n

，這樣我們就可得到f(x)≤f(

1

2n

)≤

1

2n

+2，由此結(jié)論成立．

解答：（1）解：令a=b=0，∴f（0）=f（0+0）≥2f（0）-2，∴f（0）≤2，
又∵f（0）≥2對(duì)一切x∈[0，1]恒成立，
∴f（0）=2
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，則x₂-x₁∈[0，1]
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（x₂-x₁）-2≥0
∴f（x₁）≤f（x₂）
則當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（0）≤f（x）≤f（1）
∴f（x）_min=2，f（x）_max=3
（3）證明：在③中令a=b=

1

2n

，得f(

1

2n-1

)≥2f(

1

2n

)-2
∴f(

1

2n

)-2≤

1

2

[f(

1

2n-1

)-2]≤…≤

1

2n

[f(

1

20

)-2]=

1

2n

∴f(

1

2n

)≤

1

2n

+2   （Ⅰ）
對(duì)?x∈（0，1]，總存在n∈N，滿足

1

2n+1

＜x≤

1

2n

由（2）及（Ⅰ）得：f(x)≤f(

1

2n

)≤

1

2n

+2
又2x+2＞2×

1

2n+1

+2=

1

2n

+2，
∴f（x）＜2x+2．
綜上所述，對(duì)任意x∈（0，1]，f（x）＜2x+2恒成立

點(diǎn)評(píng)：抽象函數(shù)性質(zhì)的研究，賦值法是常用方法，單調(diào)性的證明，正確變形是關(guān)鍵，同時(shí)注意放縮法的運(yùn)用．