Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin(2x+φ)-cos(2x+φ)（0＜φ＜π）
（Ⅰ）若φ=

π

3

，用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)f（x）在[0，π]上的圖象．
（Ⅱ）若f（x）偶函數(shù)，求φ
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，π]的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當φ=

π

3

時，化簡函數(shù)f（x）的解析式，用五點法作出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．
（Ⅱ）因為f（x）為偶函數(shù)，則y軸是f（x）圖象的對稱軸，求出|sin(φ-

π

6

)|=1，再根據(jù)φ的范圍，求得φ的值．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）=f（

x

4

-

π

6

）=2cos（

x

2

-

π

3

）．
令2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π，k∈z，求得x的范圍，即可求得g（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）當φ=

π

3

時，y=

3

sin(2x+

π

3

)-cos(2x+

π

3

)=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x
=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
列表：

2x+ π 6	π 6	π 2	π	3π 2	2π	13π 6
x	0	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	π
y	1	2	0	-2	0	1

故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象是：
  （6分）
（Ⅱ）f(x)=

3

sin(2x+φ)-cos(2x+φ)=2sin(2x+φ-

π

6

)，…（8分）
因為f（x）為偶函數(shù)，則y軸是f（x）圖象的對稱軸，
所以|sin(φ-

π

6

)|=1，則φ-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，即φ=kπ+

2π

3

(k∈Z)．
又因為0＜φ＜π，故 φ=

2π

3

． …（11分）
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，
故將f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，可得函數(shù)f（x-

π

6

）的圖象，再把所得的圖象上各個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，
可得函數(shù)g（x）=f（

x

4

-

π

6

）的圖象，故g（x）=f（

x

4

-

π

6

）=2cos（

x

2

-

π

3

）．
令 2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π，k∈z，解得 4kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

8π

3

，
故g（x）的 單調(diào)減區(qū)間為[4kπ+

2π

3

，2kπ+

8π

3

]，k∈z．

點評：本題主要考查用五點法作y=Asin（ωx+∅）的圖象，求函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的單調(diào)區(qū)間，y=Asin（ωx+∅）的圖象
變換規(guī)律，屬于中檔題．