Question

設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

(log2an+1)•(log2an+2)

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差數(shù)列的性質(zhì)，列出方程，求出a₂，公比，進(jìn)而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）首先寫出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)求和即可．

解答： 解：（Ⅰ）{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，
∵S₃=7，∴a₂=2，
∵a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，
∴6a₂=（a₁+3）+（a₃+4），即6×2=

a2

q

+3+a₂q+4，
∴

2

q

+2q=5，故q=

1

2

或2，
又q＞1，則q=2，從而an=2n-1．
（II）bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和，采取裂項(xiàng)的方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．