Question

已知f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ） 解不等式：f（x+1）-f（1-x）＞0；
（Ⅱ） 若f（x）在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式等價于 log_a （x+1）＞log_a （-x+1），分0＜a＜1和a＞1兩種情況，分別求得不等式的解集．
（Ⅱ）（1）當0＜a＜1時，利用函數(shù)的單調(diào)性可得log_a2-log_a4=1，由此求得a的值．當 a＞1時，利用函數(shù)的單調(diào)性可得 log_a4-log_a2=1，由此求得a的值．綜合可得結論．

解答：解：（Ⅰ）不等式：f（x+1）-f（1-x）＞0 即  即 log_a （x+1）-log_a （-x+1）＞0，-
亦即 log_a （x+1）＞log_a （-x+1）…1分
（1）當0＜a＜1時，不等式等價于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

，解得-1＜x＜0…3分
（2）當a＞1時，上述不等式 

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，解得 0＜x＜1…5分
綜上可得，當0＜a＜1時，不等式的解集為（-1，0）； 當a＞1時，不等式的解集為（0，1）．
（Ⅱ）（1）當0＜a＜1時，
y=log_a x 在[2，4]上是減函數(shù)，故函數(shù)的最小值為f（1），最大值為f（2），
由題設得log_a2-log_a4=1，即 loga

1

2

=1，∴a=

1

2

…7分
（2）當 a＞1時，y=log_a x 在[2，4]上是增函數(shù)，故函數(shù)的最小值為f（2），最大值為f（4），
由題設得 log_a4-log_a2=1，即log_a2=1，∴a=2．
綜上得 a=2 或a=

1

2

…9分．

點評：本題主要考查對數(shù)不等式的解法，函數(shù)的單調(diào)性的應用，體現(xiàn)了分類討論、以及等價轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題