Question

在棱長為1的正方體ABCD—A′B′C′D′中，

（1）求點A到直線B′C的距離；

（2）求點A到平面BD′的距離；

（3）求點A′到平面AB′D′的距離；

（4）求平面AB′D′與平面BC′D的距離；

（5）求直線AB到平面CDA′B′的距離.

Answer 1

分析：用直接法求解.

解：(1)由題意作圖,易知點A到直線B′C的距離為正△AB′C的邊B′C上的高,其值為.

(2)易知直線AO⊥平面BD′,AO的長即為所求,AO=AC=.

(3)易知平面A′ACC′⊥平面AB′D′,在矩形A′ACC′中,易知A′C⊥O′A,設(shè)A′C∩O′A=E,且A′E=A′C=,

所以A′E為點A′到平面AB′D′的距離.

(4)易知A′C⊥平面AB′D′，A′C⊥平面BC′D，設(shè)直線A′C分別交平面AB′D′、平面BC′D于點E、F，則EF的長為平面AB′D′與平面BC′D的距離，

于是EF=A′C=.

(5)因為直線AB∥平面CDA′B′,所以所求的距離即為點B到平面CDA′B′的距離BG(由BG⊥直線B′C,直線BG⊥平面A′B′CD知),此距離為BC′=.

點撥：求解空間距離,最基本的方法是直接法,做選擇,填空題時,往往比向量法簡單.