Question

設函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx在x=1時取得極大值5
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m²-8m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=2x³+3ax²+3bx，
∴f'（x）=6x²+6ax+3b…（1分）
∵函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx在x=1時取得極大值5，
∴…（2分）
解得：a=-3，b=4，…（3分）
經(jīng)檢驗：a=-3，b=4符合題意 …（4分）
∴f（x）=2x³-9x²+12x…（5分）
（2）對于任意的x∈[0，3]，
都有f（x）＜m²-8m成立等價于2x³-9x²+12x＜m²-8m在[0，3]上恒成立，…（6分）
由f（x）=2x³-9x²+12x在[0，3]上恒成立，…（8分）
比較f（2），f（1），f（0），f（3）的大小，
得[f（x）]_max=9…（10分）
∴9＜m²-8m，…11 分
解得m＞9或m＜-1．…（12分）
分析：（1）由f（x）=2x³+3ax²+3bx在x=1時取得極大值5，知，解得a=-3，b=4，由此能求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m²-8m成立等價于2x³-9x²+12x＜m²-8m在[0，3]上恒成立．由f（x）=2x³-9x²+12x在[0，3]上恒成立，能求出m的取值范圍．
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，易錯點是對于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m²-8m成立等價于2x³-9x²+12x＜m²-8m在[0，3]上恒成立．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．