Question

若直線與曲線滿足下列兩個(gè)條件：直線在點(diǎn)處與曲線相切；曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點(diǎn)處“切過”曲線. 下列命題正確的是__ ____（寫出所有正確命題的編號）

①直線在點(diǎn)處“切過”曲線：

②直線在點(diǎn)處“切過”曲線：

③直線在點(diǎn)處“切過”曲線：

④直線在點(diǎn)處“切過”曲線：

Answer 1

①③

【解析】

試題分析：①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032106165675327454/SYS201503210617151601529827_DA/SYS201503210617151601529827_DA.001.png">，所以 ，所以曲線：在點(diǎn)處的切線為，且當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)；即曲線：在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)；所以①正確.

②設(shè) ，則

當(dāng) 時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間 上為減函數(shù)；

當(dāng) 時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間 上為增函數(shù)；

所以，即在上恒成立，所以曲線：總在直線下方，不合定義，所以命題②不正確；

③因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032106165675327454/SYS201503210617151601529827_DA/SYS201503210617151601529827_DA.027.png">，所以 ，所以曲線：在點(diǎn) 處的切線為，設(shè) ，則，所以函數(shù)為減函數(shù)；

又 ，

所以當(dāng) 時(shí)， 即；曲線：在切線的下方；

所以當(dāng) 時(shí)， 即；曲線：在切線的上方；

所以命題③正確；

④設(shè) ，則

當(dāng) 時(shí)，

當(dāng) 時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間 上為減函數(shù)；

當(dāng) 時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間 上為增函數(shù)；所以，即在上恒成立，所以曲線：總在直線上方，不合定義，所以命題④不正確.

綜上可知，正確的命題只有①③，所以答案應(yīng)填：①③.

考點(diǎn)：1、新定義；2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用.