Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-{a}^{x}}{1+{a}^{x}}$，（a＞0，a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）a=2時(shí)，函數(shù)g（x）和f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，求函數(shù)g（x）的解析式；進(jìn)一步研究函數(shù)G（x）=|g（x）|的圖象有什么性質(zhì)．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，可得結(jié)論；
（2）設(shè)g（x）的圖象上的點(diǎn)為（x．y），關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-x，y），代入，可得函數(shù)g（x）的解析式，從而可以研究函數(shù)G（x）=|g（x）|的圖象有什么性質(zhì)．

解答 解：（1）f（-x）=$\frac{1-{a}^{-x}}{1+{a}^{-x}}$=$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）設(shè)g（x）的圖象上的點(diǎn)為（x．y），關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-x，y），
∴y=$\frac{1-{2}^{2-x}}{1+{2}^{2-x}}$，即g（x）=$\frac{1-{2}^{2-x}}{1+{2}^{2-x}}$=-1+$\frac{1}{\frac{1}{2}+{2}^{-x+1}}$，
∴函數(shù)G（x）=|g（x）|的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．