Question

下列四個(gè)命題中正確的有

 

（填上所有正確命題的序號(hào)）
①若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=3，則a，b，c中至少有一個(gè)不小于1
②若z為復(fù)數(shù)，且|z|=1，則|z-i|的最大值等于2
③任意x∈（0，+∞），都有x＞sinx
④定積分

∫

π 0

π-x2

dx=

π2

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,微積分基本定理,復(fù)數(shù)求模

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：①可運(yùn)用反證法，即可判斷；②運(yùn)用|z-i|≤|z|+|-i|=2，即可得到最大值；
③運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性可證；
④定積分

∫

π 0

π-x2

dx表示

1

4

圓y=

π-x2

（0＜x＜

π

）的面積，算出即可．

解答： 解：①若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=3，則用反證法，假設(shè)a，b，c都小于1，則a+b+c＜3，矛盾，故可得a，b，c中至少有一個(gè)不小于1，故①正確；
②若z為復(fù)數(shù)，且|z|=1，則由|z-i|≤|z|+|-i|=2，可得|z-i|的最大值等于2，故②正確；
③任意x∈（0，+∞），根據(jù)（x-sinx）的導(dǎo)數(shù)為1-cosx≥0，可得（x-sinx）在R上為增函數(shù)，
再根據(jù)當(dāng)x=0時(shí)，（x-sinx）=0，可得任意x∈（0，+∞），都有x-sinx＞0，故③正確．
④定積分

∫

π 0

π-x2

dx表示

1

4

圓y=

π-x2

（0＜x＜

π

）的面積，則為

π2

4

，故④正確．
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，復(fù)數(shù)的幾何意義，及定積分的幾何意義，屬于中檔題．