Question

（2010•宿松縣三模）已知函數(shù)f（x）=|x-a|+

1

x

，(x＞0)，
（1）當a=1時，求f（x）的最小值；
（2）欲使f(x)≥

1

2

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數(shù)分別研究分段函數(shù)在每一段上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值；
（2）欲使f(x)≥

1

2

恒成立，可轉(zhuǎn)化為|x-a|≥

1

2

-

1

x

在x＞0時恒成立，然后將a分離，求出不等式另一側(cè)的最值即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=

x+ 1 x -1(x≥1) 1+ 1 x -x，(0＜x＜1)

∵x≥1時，f'（x）=1-

1

x2

≥0，f（x）是增函數(shù)，
∴f（x）≥1
∵0＜x＜1時，f′（x）=-

1

x2

-1＜0，f（x）是減函數(shù)，
∴f（x）＞1，
所以，f（x）最小值為1
（2）轉(zhuǎn)化為|x-a|≥

1

2

-

1

x

在x＞0時恒成立．
①當

1

2

-

1

x

≥0即x≥2時，不等式可轉(zhuǎn)化為a-x≥

1

2

-

1

x

或a-x≤-

1

2

+

1

x

，
從而a≥x-

1

x

+

1

2

或a≤x+

1

x

-

1

2

，
而x-

1

x

+

1

2

在[2+∞）上是遞增的，值域是[2，+∞），故滿足a≥x-

1

x

+

1

2

的a不存在；
又x+

1

x

-

1

2

在[1，+∞）上也是遞增的，且x≥2時，最小值為2，故a≤2；
②當

1

2

-

1

x

＜0時，即0＜x＜2時，不等式|x-a|≥

1

2

-

1

x

對于a∈R恒成立．
綜上所述：a≤2．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及帶絕對值的函數(shù)恒成立問題，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．