Question

已知函數(shù)x²+bx+a（a，b∈R），且其導函數(shù)f′（x）的圖象過原點．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：求出f′（x），把（0，0）代入f′（x）求得b的值，把b的值代入f′（x）
（Ⅰ）把a等于1代入到導函數(shù)中求出導函數(shù)，把x=3代入導函數(shù)中得f′（3）即為函數(shù)在x=3處切線方程的斜率，把x=3代入f（x）中求出切點坐標（3，f（3）），然后根據(jù)切點和斜率寫出切線方程即可；
（Ⅱ）把求得導函數(shù)代入到f′（x）=-9中，解出-a-1，根據(jù)x小于0，利用基本不等式即可求出a的最大值；
（Ⅲ）當a大于0時，令導函數(shù)為0求出x的值，利用x的值，討論導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極大值和極小值，并根據(jù)a大于0判斷極大值和極小值的正負及f（-2）和f（（a+1））的正負，即可得到函數(shù)零點的個數(shù)．
解答：解：，f'（x）=x²-（a+1）x+b
由f'（0）=0得b=0，f'（x）=x（x-a-1）．
（Ⅰ）當a=1時，，f'（x）=x（x-2），f（3）=1，f'（3）=3
所以函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程為y-1=3（x-3），即3x-y-8=0；
（Ⅱ）存在x＜0，使得f'（x）=x（x-a-1）=-9，，a≤-7，
當且僅當x=-3時，a=-7，所以a的最大值為-7；
（Ⅲ）當a＞0時，x，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

f（x）的極大值f（0）=a＞0，
f（x）的極小值
又，，．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間內(nèi)各有一個零點，
故函數(shù)f（x）共有三個零點．
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用基本不等式求函數(shù)的最值，會利用導函數(shù)的正負研究函數(shù)的單調(diào)性并根據(jù)函數(shù)的增減性求出函數(shù)的極值，根據(jù)極值的正負判斷函數(shù)零點的個數(shù)，是一道中檔題．