Question

設a_n=（2n-1）•4ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ•n，求數列a_n的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：首先把數列分成兩部分bn=(2n-1)4n+1和cn=(-1)n•n，對{b_n}采用錯位相加法求前n項和，對{c_n}采用分類討論求前n項和，通過運算求結果．

解答： 解：a_n=（2n-1）•4ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ•n，
故設：bn=(2n-1)4n+1數列{b_n}的前n項和為T_n，
先求T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=1•4²+3•4³+…+（2n-3）•4ⁿ+（2n-1）4ⁿ⁺¹4ⁿ⁺¹ ①
4Tn=1•43+3•44+…+(2n-3)4ⁿ⁺¹+（2n-1）4ⁿ⁺² ②
①-②得：-3Tn=2(42+43+…+4n+1)-16-（2n-1）4ⁿ⁺²
解得：Tn=

(32n-32)4n+80-4n+2

9

設：cn=(-1)n•n，數列{c_n}的前n項和為K_n，
當n為偶數時，Kn=

n

2

當n為奇數時，Kn=

n-1

2

-n
數列a_n的前n項和Sn=

(32n-32)4n+80-4n+2 9 - n 2 (n為偶數) (32n-32)4n+80-4n+2 9 + n+1 2 (n為奇數)

點評：本題考查的知識要點：數列的求和，錯位相減法的應用，分類討論思想在題中的應用及相關的運算問題．