在中，，動點(diǎn)P的軌跡為曲線E，曲線E過點(diǎn)C且滿足|PA|+|PB|為常數(shù)。

（1）求曲線E的方程；

（2）是否存在直線L，使L與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線平分？若存在，求出L的斜率的取值范圍；若不存在說明理由。

 

【答案】

（1）略（2）

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）根據(jù)已知條件，易知，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811301016466212/SYS201209081130362694619038_DA.files/image003.png">，所以，

所以，

由|PA|+|PB|的值為常數(shù)知動點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓

（2）聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，表示得到參數(shù)k的等式，進(jìn)而求解其范圍。

解：（1）易知，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811301016466212/SYS201209081130362694619038_DA.files/image003.png">，所以，

所以，

由|PA|+|PB|的值為常數(shù)知動點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 ------4分

其中  ------6分

（2）假設(shè)L存在，因?yàn)長與直線相交，所以直線L有斜率，

設(shè)L的方程為   ----------------7分

由得 （*） ------9分

因?yàn)橹本�L與橢圓有兩個交點(diǎn)

所以（*）的判別式 ① -----10分

設(shè)，則    -------------11分

因?yàn)镸N被直線平分

所以 ②  ----------12分

把②代入①得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811301016466212/SYS201209081130362694619038_DA.files/image017.png"> 所以  ---------------13分 

所以所以或

即直線L的斜率取值范圍是   ------------14分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)A、B為兩個定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|
PA
|-|
PB
|=k，則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②以定點(diǎn)A為焦點(diǎn)，定直線l為準(zhǔn)線的橢圓（A不在l上）有無數(shù)多個；
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④過原點(diǎn)O任做一直線，若與拋物線y2=3x，y2=7x分別交于A、B兩點(diǎn)，則
OA
OB
為定值．
其中真命題的序號為
 
（寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（-1，0），映射f將xOy平面上的點(diǎn)P（x，y）對應(yīng)到另一個平面直角坐標(biāo)系uO′v上的點(diǎn)P′（4xy，2x2-2y2），則當(dāng)點(diǎn)P沿著折線A-B-C運(yùn)動時，在映射f的作用下，動點(diǎn)P′的軌跡是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•閘北區(qū)二模）和平面解析幾何的觀點(diǎn)相同，在空間中，空間曲面可以看作是適合某種條件的動點(diǎn)的軌跡．一般來說，在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，空間曲面的方程是一個三元方程F（x，y，z）=0．
（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系O-xyz中，求到定點(diǎn)M0（0，2，-1）的距離為3的動點(diǎn)P的軌跡（球面）方程；
（Ⅱ）如圖，設(shè)空間有一定點(diǎn)F到一定平面α的距離為常數(shù)p＞0，即|FM|=2，定義曲面C為到定點(diǎn)F與到定平面α的距離相等（|PF|=|PN|）的動點(diǎn)P的軌跡，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O-xyz，求曲面C的方程；  
（Ⅲ）請類比平面解析幾何中對二次曲線的研究，討論曲面C的幾何性質(zhì)．并在圖中通過畫出曲面C與各坐標(biāo)平面的交線（如果存在）或與坐標(biāo)平面平行的平面的交線（如果必要）表示曲面C的大致圖形．畫交線時，請用虛線表示被曲面C自身遮擋部分．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩點(diǎn)M(-2，0)，N(2，0)，動點(diǎn)P在y軸上的射影為為H，||是2和的等比中項.

(Ⅰ)求動點(diǎn)P的軌跡方程，并指出方程所表示的曲線；

(Ⅱ)若以點(diǎn)M，N為焦點(diǎn)的雙曲線C過直線x+y=1上的點(diǎn)Q，求實(shí)軸最長的雙曲線C的方程．

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