Question

15．（1）若ax＞lnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：?a＞0，?x₀∈R，使得當(dāng)x＞x₀時，ax＞lnx恒成立．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）先求出當(dāng)直線和y=lnx相切時a的取值，然后進(jìn)行討論求解即可．

解答 解：（1）若ax＞lnx恒成立，
則a＞$\frac{lnx}{x}$，在x＞0時恒成立，
設(shè)h（x）=$\frac{lnx}{x}$，
則h′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•x-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{1-lnx}{x}$，
由h′（x）＞0得1-lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，
由h′（x）＜0得1-lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，
即當(dāng)x=e時，函數(shù)h（x）取得極大值同時也是最大值h（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$．
即a＞$\frac{1}{e}$．
（2）設(shè)f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），
則f′（x）=$\frac{1}{x}$，當(dāng)g（x）與f（x）相切時，設(shè)切點(diǎn)為（m，lnm），
則切線斜率k=$\frac{1}{m}$，
則過原點(diǎn)且與f（x）相切的切線方程為y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m）=$\frac{1}{m}$x-1，
即y=$\frac{1}{m}$x-1+lnm，
∵g（x）=ax，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}=a}\\{-1+lnm=0}\end{array}\right.$，得m=e，a=$\frac{1}{e}$．
即當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$時，ax＞lnx恒成立．
當(dāng)a=$\frac{1}{e}$時，當(dāng)x₀≥$\frac{1}{e}$時，
要使ax＞lnx恒成立．得當(dāng)x＞x₀時，ax＞lnx恒成立．
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{e}$時，f（x）與g（x）有兩個不同的交點(diǎn)，不妨設(shè)較大的根為x₁，當(dāng)x₀≥x₁時，
當(dāng)x＞x₀時，ax＞lnx恒成立．
∴?a＞0，?x₀∈R，使得當(dāng)x＞x₀時，ax＞lnx恒成立．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．