【題目】如圖,在四棱錐E﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,BE=BC,F為CE的中點,
(1)求證:AE∥平面BDF;
(2)求證:平面BDF⊥平面ACE;
(3)2AE=EB,在線段AE上找一點P,使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值為 , 求AP的長.
【答案】證明:(1)設AC∩BD=G,連接FG,易知G是AC的中點,
∵F是EC中點.
∴在△ACE中,FG∥AE,
∵AE平面BFD,FG平面BFD,
∴AE∥平面BFD.…(4分)
(2)∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,
∴BC⊥平面ABE,又∵AE平面ABE,
∴BC⊥AE,
又∵AE⊥BE,BC∩BE=B,
∴AE⊥平面BCE,即AE⊥BF,
在△BCE中,BE=CB,F為CE的中點,
∴BF⊥CE,AE∩CE=E,
∴BF⊥平面ACE,
又BF平面BDF,
∴平面BDF⊥平面ACE.
(3)如圖建立坐標系,設AE=1,
則B(2,0,0),D(0,1,2),C(2,0,2),F(1,0,1),
設P(0,a,0),=(-2,1,2),
=(-1,0,1),
=(2,-a,0)
設⊥面BDF,且
=(x1,y1,z1)
則由⊥
得﹣2x1+y1+2z1=0,
由⊥
得﹣x1+z1=0,
令z1=1得x1=1,y1=0,從而=(1,0,1)
設⊥面BDP,且
=(x2,y2,z2),則
由⊥
得﹣2x2+y2+2z2=0,
由⊥
得2x2﹣ay2=0,
令y2=2得x2=a,z2=a﹣1,從而=(a,2,a-1)
=
=
解得a=0或a=1(舍)
即P在E處.
【解析】(1)根據線面平行的判定定理即可證明AE∥平面BDF;
(2)根據面面垂直的判定定理即可證明平面BDF⊥平面ACE;
(3)建立空間坐標系,求出平面的法向量,利用向量法即可得到結論.
【考點精析】認真審題,首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直).
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.
(Ⅰ)證明:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩名同學參加2018年高考,根據高三年級一年來的各種大、中、小型數學模擬考試總結出來的數據顯示,甲、乙兩人能考140分以上的概率分別為和
,甲、乙兩人是否考140分以上相互獨立,則預估這兩個人在2018年高考中恰有一人數學考140 分以上的概率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=2sin(ωx),其中常數ω>0
(1)令ω=1,判斷函數的奇偶性,并說明理由;
(2)令ω=2,將函數y=f(x)的圖象向左平移個單位,再向上平移1個單位,得到函數y=g(x)的圖象,對任意a∈R,求y=g(x)在區(qū)間[a,a+10π]上零點個數的所有可能值.
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