Question

如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△EAD為正三角形，四邊形ABCD為矩形，F(xiàn)是CD中點，EB與平面ABCD成30°角．
（1）當AD長度為何值時，點A到平面EFB的距離為2？
（2）二面角A-BF-E的大小是否與AD的長度有關？請說明．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點O，連接OE、OB，由，△EAD為正三角形，平面EAD⊥平面ABCD，由等腰三角形性質及線面垂直的性質，可得EO⊥平面ABCD，由EB與平面ABCD成30°角設AD=2a，則可以以O為坐標原點，建立空間坐標系，分別求出對應點的坐標，根據(jù)點A到平面EFB的距離

| m • AE |

| m |

=2，構造關于a的方程，解方程即可求出AD長．
（2）結合（1）的結合，求出平面EFB與平面ABCD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出答案．

解答：解：（1）取AD的中點O，連接OE、OB，
則EO⊥AD，EO⊥平面ABCD
于是∠EBO=30°
設AD=2a，則EO=

3

a，AB=2

2

a，OB=3a
建立如圖所示的直角坐標系，
則a=（a，0，0），B（a，2

2

a，0），E=（0，0，

3

a），F(xiàn)（-a，

2

a，0）
∴

EF

=（-a，

2

a，-

3

a），

EB

=（a，2

2

a，-

3

a），

AE

=（a，0，

3

a），
∴可求得平面EFB的法向量

m

=（1，-

2

，-

3

），|

m

|=

6

∴

| m • AE |

| m |

=2
∴AD=

6

   （6分）
（2）平面ABCD的一個法向量

n

=（0，0，1）
設二面角A-BF-E的大小為θ
則cosθ=

m • n

| m |•| n |

=

2

2

∴AD長度不影響二面角A-BF-E的大小 （12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，點到平面的距離計算，其中建立空間坐標系，利用向量法解答點到平面的距離及二面角問題是解答本題的關鍵．