Question

已知函數(shù) , .  

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）曲線在點(diǎn)處的切線方程。

（Ⅱ）函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為。

（Ⅲ）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，           1分

                            .2分

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程            3分

（Ⅱ）     4分

當(dāng)時(shí)，解，得，解，得

所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為在            5分

時(shí)，令得或

ⅰ）當(dāng)時(shí)，

x	)
f’(x)	+		-		+
f(x)	增		減		增

        6分

函數(shù)的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為        7分

ⅱ）當(dāng)時(shí)， 

在上，在上                      8分

函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為                9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

所以，                                     11分

存在，使       即存在，使，

方法一：只需函數(shù)在[1，2]上的最大值大于等于 

所以有      即解得：        13分

方法二：將 整理得 

從而有所以的取值范圍是.              13分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，不等式恒成立問(wèn)題。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的常見(jiàn)問(wèn)題，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，明確最值情況。曲線切線的斜率，等于函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值。在給定區(qū)間，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)非負(fù)，則函數(shù)為增函數(shù)，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)非正，則函數(shù)為減函數(shù)。涉及不等式恒成立問(wèn)題，往往通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，得到確定參數(shù)（范圍）的目的。對(duì)數(shù)函數(shù)要注意其真數(shù)大于0.