Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）證明：對任意實數(shù)b，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-

3

2

x+b最多只有一個交點；
（2）若方程f（x）=log₄（a•2^x-

4a

3

）有且只有一個解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用偶函數(shù)的定義即可求得k的值，利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可得出證明；
（2）把問題等價轉(zhuǎn)化，利用分類討論的思想方法即可得出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
∴log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，
∴log4

4x+1

4-x+1

=-2kx，
化為x=-2kx，對一切x∈R恒成立，解得k=-

1

2

．
由題意可知：只要證明函數(shù)f（x）+

3

2

x=log4(4x+1)+x在定義域R上單調(diào)即可．
∵函數(shù)y=4^x與y=x在R單調(diào)遞增，∴函數(shù)y=log4(4x+1)+x在R上單調(diào)遞增．
因此對任意實數(shù)b，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-

3

2

x+b最多只有一個交點；
（2）若方程f（x）=log₄（a•2^x-

4a

3

）有且只有一個解，
即log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a•2x-

4a

3

)，化為2x+

1

2x

=a•2x-

4a

3

，即此方程有且只有一個解．
令t=2^x＞0，上述問題化為方程(a-1)t2-

4a

3

t-1=0有且只有一個正根．
①若a=1，解得t=-

3

4

，不合題意，應(yīng)舍去；
②a≠1，由△=0，解得a=-

3

4

或-3．
當(dāng)a=-

3

4

時，t=-2不合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)a=-3時，t=

1

2

，滿足題意．
③若a≠1，△＞0，且方程有一個正根和一個負(fù)根時，

-1

a-1

＜0，解得a＞1．
綜上a的取值范圍是{-3}∪（1，+∞）．

點評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．