Question

已知泊數(shù)f（x）=sinxcosx-

3

sin2x
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）=sinxcosx-

3

sin²x化為f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，即可求其最小正周期；
（Ⅱ）由0≤x≤

π

2

，可求得

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得f（x）在區(qū)間[0.

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：∵f（x）=sinxcosx-

3

sin²x
=

1

2

sin2x-

3

•

1-cos2x

2

…4
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin（2x+

π

3

）-

3

2

…6
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π…7
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x+

π

3

）-

3

2

，
∵0≤x≤

π

2

，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時(shí)，f（x）取得最大值1-

3

2

；…10
當(dāng)2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）取得最小值-

3

…13

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查三角變換（降冪公式與輔助角公式）的應(yīng)用，屬于中檔題．