Question

已知點是橢圓的右焦點，點、分別是軸、

軸上的動點，且滿足．若點滿足．

(Ⅰ)求點的軌跡的方程；

(Ⅱ)設(shè)過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點，直線、與直線分別交

于點、（為坐標(biāo)原點），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，

請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ)的值是定值，且定值為

【解析】

試題分析：(Ⅰ)橢圓右焦點的坐標(biāo)為，   

．，

由，得．                        

設(shè)點的坐標(biāo)為，由，有，

代入，得．                   

（Ⅱ）解法一：設(shè)直線的方程為，、，

則，．                         

由，得， 同理得．    

，，則．

由，得，．            

則．                   

因此，的值是定值，且定值為．                     

解法二：①當(dāng)時， 、，則，  ．

由 得點的坐標(biāo)為，則．

由 得點的坐標(biāo)為，則．

．                    

②當(dāng)不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，、，同解

法一，得．                           

由，得，．       

則．                   

因此，的值是定值，且定值為．                   

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．

點評：解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握求軌跡方程的方法（消參法），以及設(shè)點利用點表示

有關(guān)的向量的表達式即可，此題對計算能力要求較高．