Question

已知函數(shù)f(x)=Asin²(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜),且y=f(x)的最大值為2,其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2,并過(guò)點(diǎn)(1,2).

(1)求φ;

(2)計(jì)算f(1)+f(2)+…+f(2 008).

Answer 1

解析：(1)y=Asin²(ωx+φ)=-cos(2ωx+2φ).

∵y=f(x)的最大值為2,A＞0,∴+=2,A=2.

又∵其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2,ω＞0,

∴()=2,ω=.

∴f(x)=-cos(x+2φ)=1-cos(x+2φ).

∵y=f(x)過(guò)(1,2)點(diǎn),∴cos(+2φ)=-1.

∴+2φ=2kπ+π,k∈Z.∴2φ=2kπ+,k∈Z.

∴φ=kπ+,k∈Z.又∵0＜φ＜,∴φ=.

(2)方法一:∵φ=,

∴y=1-cos(x+)=1+sinx.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.

又∵y=f(x)的周期為4,2 008=4×502,

∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.

方法二:∵f(x)=2sin²(x+φ),

∴f(1)+f(3)=2sin²(+φ)+2sin²(+φ)=2,

f(2)+f(4)=2sin²(+φ)+2sin²(π+φ)=2.

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4.

又y=f(x)的周期為4,2 008=4×502,

∴f(1)+f(2)+…+f(2 008)=4×502=2 008.