Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：2

2

x-y+3+8

2

=0和圓C₁：x²+y²+8x+F=0．若直線l被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

．
（1）求圓C₁的方程；
（2）設(shè)圓C₁和x軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C₁上不同于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB交y軸于M、N點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，以MN為直徑的圓C₂是否經(jīng)過(guò)圓C₁內(nèi)一定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）若△RST的頂點(diǎn)R在直線x=-1上，S、T在圓C₁上，且直線RS過(guò)圓心C₁，∠SRT=30°，求點(diǎn)R的縱坐標(biāo)的范圍．

Answer 1

（1）圓C₁：（x+4）²+y²=16-F，
則圓心（-4，0）到直線2

2

x-y+3+8

2

=0的距離d=

|-8 2 +3+8 2 |

3

根據(jù)垂徑定理及勾股定理得：(

2 3

2

)2+（

-8 2 +3+8 2

3

）²=16-F，F(xiàn)=12
∴圓C₁的方程為（x+4）²+y²=4；
（2）令圓的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，則A（-6，0），B（-2，0）
設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），則（x₀+4）²+y₀²=4，得到（x₀+4）²-4=-y₀²①
∴k_PA=

y0

x0+6

則l_PA：y=

y0

x0+6

（x+6），M（0，

6y0

x0+6

）
∴則l_PB：y=

y0

x0+2

（x+2），N（0，

2y0

x0+2

）
圓C₂的方程為x²+（y-

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）²=（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）²
完全平方式展開(kāi)并合并得：x²+y²-2（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）y+

12y02

(x0+4)2-4

=0
將①代入化簡(jiǎn)得x²+y²-2（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）y=0，
令y=0，得x=±2

3

，
又點(diǎn)Q（-2

3

，0），
由Q到圓C₁的圓心（-4，0）的距離d=

(4-2 3 )2+0

=4-2

3

＜2，則點(diǎn)Q在圓C₁內(nèi)，
所以當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，以MN為直徑的圓C₂經(jīng)過(guò)圓C₁內(nèi)一定點(diǎn)（-2

3

，0）；
（3）設(shè)R（-1，t），作C₁F⊥RT于H，設(shè)C₁H=d，
由于∠C₁RH=30°，∴RC₁=2d，
由題得d≤2，
∴RC₁≤4，即

9+t2

≤4，∴-

7

≤t≤

7

，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的范圍為[-

7

，

7

]