Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式分別為a_n=3n+6，b_n=2n+7（n∈N^*）．將集合{x|x=a_n，n∈N^*}∪{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c₁，c₂，c₃，…，c_n，…
（1）寫出c₁，c₂，c₃，c₄；
（2）求證：在數(shù)列{c_n}中，但不在數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)恰為a₂，a₄，…，a_2n，…；
（3）求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）利用兩個數(shù)列的通項(xiàng)公式求出前3項(xiàng)，按從小到大挑出4項(xiàng)．
（2）對于數(shù)列{a_n}，對n從奇數(shù)與偶數(shù)進(jìn)行分類討論，判斷是否能寫成2n+7的形式．
（3）對{a_n}中的n從從奇數(shù)與偶數(shù)進(jìn)行分類討論，對{b_n}中的n從被3除的情況分類討論，判斷項(xiàng)的大小，求出數(shù)列的通項(xiàng)．

解答：解：（1）a₁=3×1+6=9；     a₂=3×2+6=12              a₃=3×3+6=15
b₁=2×1+7=9               b₂=2×2+7=11             b₃=2×3+7=13 
∴c₁=9；c₂=11；c₃=12；c₄=13
（2）解對于a_n=3n+6，
當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)為n=2k+1
則3n+6=2（3k+1）+7∈{b_n}
當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2k則3n+6=6k-1+7不屬于{b_n}
∴在數(shù)列{c_n}中，但不在數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)恰為a₂，a₄，…，a_2n，…；
（3）b_3k-2=2（3k-2）+7=a_2k-1
b_3k-1=6k+5 
a_2k=6k+6
b_3k=6k+7
∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7
∴當(dāng)k=1時，依次有b₁=a₁=c₁，b₂=c₂，a₂=c₃，b₃=c₄…
∴cn=

6k+3(n=4k-3) 6k+5(n=4k-2) 6k+6(n=4k-1) 6k+7(n=4k)

點(diǎn)評：本題考查利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的項(xiàng)、考查判斷某項(xiàng)是否屬于一個數(shù)列是看它是否能寫出通項(xiàng)形式、考查分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法．