(本小題滿分12分)

設函數(shù),曲線在點處的切線方程

(1)求的解析式,并判斷函數(shù)的圖像是否為中心對稱圖形?若是,請求其對稱中心;否則說明理由。

(2)證明:曲線上任一點的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值,并求出此定值.

(3) 將函數(shù)的圖象向左平移一個單位后與拋物線為非0常數(shù))的圖象有幾個交點?(說明理由)

 

【答案】

(1) 的圖像是以點為中心的中心對稱圖形.

(2) 三角形的面積為定值

(3) 由三次函數(shù)的圖象是連續(xù)的可知F(x)至少有一零點                           

在R上為減函數(shù)(減函數(shù)至多有一個零點),

所以此時F(x)有且只有一個零點;

【解析】

試題分析:解:(1),                                      

曲線在點處的切線方程為y=3,

于是                解得        

,故.                                       

,滿足,所以是奇函數(shù)     

所以,其圖像是以原點(0,0)為中心的中心對稱圖形.                       

而函數(shù)的圖像按向量平移,即得到函數(shù)的圖像,

故函數(shù)的圖像是以點為中心的中心對稱圖形.                        

(2)證明:在曲線上任取一點.  由知,     

過此點的切線方程為.               

,切線與直線交點為.                 

,切線與直線交點為

直線與直線的交點為.                                  

從而所圍三角形的面積為.  

所以,所圍三角形的面積為定值.                                        

(3)將函數(shù)的圖象向左平移一個單位后得到的函數(shù)為,

它與拋物線的交點個數(shù)等于方程=的解的個數(shù)          

法一:

(解的個數(shù),(易知0不是其解,不產生增根)  

的零點(與x軸交點的橫坐標)的個數(shù)    

由三次函數(shù)的圖象是連續(xù)的可知F(x)至少有一零點                             11分

在R上為減函數(shù)(減函數(shù)至多有一個零點),

所以此時F(x)有且只有一個零點;

考點:導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)零點

點評:解決的關鍵是能結合導數(shù)的幾何意義表示切線方程,進而分析函數(shù)的零點個數(shù),需要對于a分類討論得到,屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
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3
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,
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ON
|=6,
ON
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5
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.過點M作MM1丄y軸于M1,過N作NN1⊥x軸于點N1,
OT
=
M1M
+
N1N
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(I)求曲線C的方程:
(H)已知直線L與雙曲線C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q兩點(其中點P在第-象限).線段OP交軌跡C于A,若
OP
=3
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