Question

13．如圖，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），點(diǎn)A，B分別是左、右頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線MN（異于x軸）交于橢圓C于M、N兩點(diǎn)．
（1）若橢圓C過(guò)點(diǎn)$（{2，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}}）$，且右準(zhǔn)線方程為x=6，求橢圓C的方程；
（2）若直線BN的斜率是直線AM斜率的2倍，求橢圓C的離心率．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C過(guò)點(diǎn)$（2，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}）$，右準(zhǔn)線方程為x=6，a²=b²+c²，列出方程組求解即可．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)（c，0）；求出MA，MB的斜率乘積，
設(shè)直線MN：x=my+c，與橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，通過(guò)韋達(dá)定理推出${k_{BM}}•{k_{BN}}=-\frac{b^4}{{{a^2}{{（a-c）}^2}}}$，結(jié)合2k_MA=k_BN；即可求解橢圓C的離心率．

解答 （本小題滿分16分）
解：（1）因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)$（2，\frac{{4\sqrt{3}}}{3}）$，所以$\frac{4}{a^2}+\frac{16}{{3{b^2}}}=1$，
又已知右準(zhǔn)線方程為x=6，所以$\frac{a^2}{c}=6$，a²=b²+c²，
可解得a²=12，b²=8；或a²=28，${b^2}=\frac{56}{9}$；
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$或$\frac{x^2}{28}+\frac{{9{y^2}}}{56}=1$．（6分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則A（-a，0），B（a，0），F(xiàn)（c，0）；
因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以$y_1^2={b^2}（1-\frac{x_1^2}{a^2}）=-\frac{b^2}{a^2}（x_1^2-{a^2}）$，
所以${k_{MA}}•{k_{MB}}=\frac{y_1}{{{x_1}+a}}•\frac{y_1}{{{x_1}-a}}=\frac{y_1^2}{{x_1^2-{a^2}}}=-\frac{b^2}{a^2}$，
設(shè)直線MN：x=my+c，與橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$聯(lián)立方程組消去x得（a²+m²b²）y²+2cmb²y-b⁴=0，${k_{BM}}•{k_{BN}}=\frac{y_1}{{{x_1}-a}}•\frac{y_2}{{{x_2}-a}}=\frac{y_1}{{m{y_1}+c-a}}•\frac{y_2}{{m{y_2}+c-a}}$=$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{m^2}{y_1}{y_2}+m（c-a）（{y_1}+{y_2}）+{{（c-a）}^2}}}$，
將${y_1}{y_2}=-\frac{b^4}{{{a^2}+{m^2}{b^2}}}$，${y_1}+{y_2}=-\frac{{2cm{b^2}}}{{{a^2}+{m^2}{b^2}}}$代入上式化簡(jiǎn)得${k_{BM}}•{k_{BN}}=-\frac{b^4}{{{a^2}{{（a-c）}^2}}}$，又2k_MA=k_BN；所以$-\frac{{2{b^2}}}{a^2}=-\frac{b^4}{{{a^2}{{（a-c）}^2}}}$，
得a²-4ac+3c²=0，即3e²-4e+1=0，解得$e=\frac{1}{3}$或e=1，
又0＜e＜1，所以$e=\frac{1}{3}$，即橢圓C的離心率為$\frac{1}{3}$．（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．