Question

【題目】已知雙曲線 =1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0）．
（1）若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2，求雙曲線的方程；
（2）以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為﹣ ，求雙曲線的離心率．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵雙曲線 的漸近線方程為y=

∴若雙曲線的一條漸近線方程為y=x，可得 =1，解之得a=b

∵c= =2，∴a=b=

由此可得雙曲線方程為

（2）解：設A的坐標為（m，n），可得直線AO的斜率滿足k= = ，即m= n…①

∵以點O為圓心，c為半徑的圓方程為x2+y2=c2

∴將①代入圓方程，得3n2+n2=c2，解得n= c，m= c

將點A（ c， c）代入雙曲線方程，得

化簡得： c2b2﹣ c2a2=a2b2，

∵c2=a2+b2

∴b2=c2﹣a2代入上式，化簡整理得 c4﹣2c2a2+a4=0

兩邊都除以a4，整理得3e4﹣8e2+4=0，解之得e2= 或e2=2

∵雙曲線的離心率e＞1，∴該雙曲線的離心率e= （舍負）

【解析】（1）根據雙曲線的一條漸近線方程為y=x，可得 =1，解得a=b，結合c= =2算出a=b= ，可得該雙曲線方程；（2）設A（m，n），根據切線垂直于過切點的半徑算出m= n．而以點O為圓心，c為半徑的圓方程為x2+y2=c2 ， 將A的坐標代入圓方程，算出點A（ c， c），將此代入雙曲線方程，并結合c2=a2+b2化簡整理得 c4﹣2c2a2+a4=0，再根據離心率公式整理得3e4﹣8e2+4=0，解之即可得到該雙曲線的離心率．