Question

已知函數f（x）=2e^2x+2x+sin2x．
（Ⅰ）試判斷函數f （x）的單調性并說明理由；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，1]，不等式組

f(2kx-x2)＞f(k-4) f(x2-kx)＞f(k-3)

恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其導函數，利用其導函數值的正負來判斷函數f （x）的單調性即可；
（Ⅱ）先把問題轉化為

x2-2kx+k-4＜0 x2-kx-k+3＞0

，對于任意x∈[0，1]恒成立；再分別求出兩段成立時實數k滿足的條件，兩個相結合即可求出實數k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）在R上單調遞增．利用導數證明如下：
因為f（x）=2e^2x+2x+sin2x，
所以，f'（x）=4e^2x+2+2cos2x＞0在R上恒成立，
所以f（x）在R上遞增．（5分）
（Ⅱ）由于f（x）在R上遞增，不等式組可化為

x2-2kx+k-4＜0 x2-kx-k+3＞0

，對于任意x∈[0，1]恒成立．
令F（x）=x²-2kx+k-4＜0對任意x∈[0，1]恒成立，
必有

F(0)＜0 F(1)＜0

，即

k-4＜0 1-2k+k-4＜0

，解之得-3＜k＜4，
再由x²-kx-k+3＞0對任意x∈[0，1]恒成立可得k＜

x2+3

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

-2，
在x∈[0，1]恒成立，因此只需求

x2+3

x+1

的最小值，而（x+1）+

4

x+1

-2≥2．
當且僅當x=1時取等號，故k＜2．
綜上可知，k的取值范圍是（-3，2）．（12分）

點評：本題第一問主要考查利用導數研究函數的單調性．利用導數研究函數的單調性時，一般結論是：導數大于0對應區(qū)間為原函數的遞增區(qū)間；導數小于0對應區(qū)間為原函數的遞減區(qū)間．