Question

（本小題滿分12分）

如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC＝∠ACD＝90^O，∠EAC＝60⁰，AB＝AC＝AE．

（1）在直線BC上是否存在一點P，使得DP∥平面EAB？請證明你的結論；

（2）求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角的大小。

 

Answer 1

【答案】

證明如下：

取的中點連結，則

，，    

取的中點，連結，

∵且，

∴△是正三角形，∴．

∴四邊形為矩形，∴．又∵，

∴且，四邊形是平行四邊形．

∴，而平面，平面，∴平面6分

（或可以證明面面平行）

（2）（法1）過作的平行線，過作的垂線交于，連結，

∵，∴，是平面與平面所成二面角的棱 8分

∵平面平面，，∴平面，

又∵平面，∴平面，∴，

∴是所求二面角的平面角．   10分

設，則，，

∴，

∴．   

           1２分

（法2）∵，平面平面，

∴以點為原點，直線為軸，直線為軸，

建立空間直角坐標系，則軸在平面內（如圖）．

設，由已知，得，，．

∴，，…………………8分

設平面的法向量為，

則且，

∴∴解之得

取，得平面的一個法向量為.        

又∵平面的一個法向量為．

．

     1２分

 

【解析】略