Question

已知頂點是坐標原點，對稱軸是x軸的拋物線經(jīng)過點A(

1

2

，-

2

)．
（Ⅰ）求拋物線的標準方程．
（Ⅱ）直線l過定點P（-2，1），斜率為k，當k為何值時，直線l與拋物線有兩個公共點？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意設(shè)拋物線的方程為y²=2px，把A點坐標(

1

2

，-

2

)代入方程得(-

2

)2=2p×

1

2

，由此能求出拋物線的標準方程．
（Ⅱ）由題意，直線l的方程為y=kx+2k+1，由方程組

y=kx+(2k+1) y2=4x

，得ky²-4y+4（2k+1）=0，由此能夠推導(dǎo)出當-1＜k＜

1

2

，且k≠0時，以上方程組有兩個解，這時直線l拋物線有兩個公共點．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由題意設(shè)拋物線的方程為y²=2px，
把A點坐標(

1

2

，-

2

)代入方程得(-

2

)2=2p×

1

2

，
解得p=2，
所以拋物線的標準方程是y²=4x
（Ⅱ）由題意，直線l的方程為y=kx+2k+1
由方程組

y=kx+(2k+1) y2=4x

，
得ky²-4y+4（2k+1）=0，
顯然k=0不滿足題意，∴k≠0
于是由△=-16（2k²+k-1）＞0，
即2k²+k-1＜0，
解得　-1＜k＜

1

2

于是，當-1＜k＜

1

2

，
且k≠0時，以上方程組有兩個解，這時直線l拋物線有兩個公共點．
故當k≠0時，直線l與拋物線有兩個公共點．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線有兩個交點時實數(shù)值的求法．解題時要認真審題，注意直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運用．