Question

已知四棱錐P-ABCD的直觀圖（如圖1）及左視圖（如圖2），底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB．
（Ⅰ）求證：AD⊥PB；
（Ⅱ）求異面直線PD與AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大�。�

Answer 1

解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O連接PO，則PO⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，PO⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB
PO?平面PAB可得PO⊥平面PAS，又AD?平面ABCD，所以PO⊥AD，AD⊥AB，PO∩AB=0
可得AD⊥平面PAB
PB?平面PAB
所以 AD⊥PB


（Ⅱ）過O作AD的平行線為x軸，OB、OP分別為y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-1，0）
D（2，-1，0），B（0，1，0），C（2，1，0）由已知左視圖知PO=2，故P（0，0，2）
=（2，-1，-2），cos==
（Ⅲ）平面PABD 法向量=（1，0，0）設(shè)平面PCD的法向量=（x，y，z）

取
cos
即所求二面角的大小為
分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O連接PO，證明AD垂直平面PAB內(nèi)的兩條相交直線PO，AB，即可證明AD⊥PB；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出，利用cos==，求異面直線PD與AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）平面PABD 法向量=（1，0，0）設(shè)平面PCD的法向量=（x，y，z），通過cos，求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的大�。�
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三視圖、直線與直線直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想像能力，推理論證能力，以及運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想．