證明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac＜0.

充分性：若ac＜0,則b2-4ac＞0,且＜0,

∴方程ax2+bx+c=0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程有一正根和一負(fù)根.

必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根，則Δ=b2-4ac＞0,x1x2=＜0,∴ac＜0.

綜上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac＜0.


解析:

充分性：若ac＜0,則b2-4ac＞0,且＜0,

∴方程ax2+bx+c=0有兩個相異實根，且兩根異號，即方程有一正根和一負(fù)根.

必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根，則Δ=b2-4ac＞0,x1x2=＜0,∴ac＜0.

綜上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac＜0.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x2-ax-2=0的兩根為α，β（其中α＜β），函數(shù)f(x)=
4x-ax2+1
．
（1）若a=1，求f（α）+f（β）的值；
（2）用單調(diào)性的定義證明f（x）在（α，β）上是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

a,b,c為實數(shù)，且a=b+c+1.證明：兩個一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一個方程有兩個不相等的實數(shù)根.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根α，β.判斷命題：“若2|a|＜4+b,且|b|＜4,則|α|＜2且|β|＜2”的真假，并證明.

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設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x2-ax-2=0的兩根為α，β（其中α＜β），函數(shù)．
（1）若a=1，求f（α）+f（β）的值；
（2）用單調(diào)性的定義證明f（x）在（α，β）上是增函數(shù)．

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