Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面底面，且為等腰直角三角形，，、分別為、的中點(diǎn).

（1）求證：//平面 ；

（2）若線(xiàn)段中點(diǎn)為,求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1)證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

試題分析：（1）要證//平面,可證明與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,邊結(jié)由中位線(xiàn)定理得這條直線(xiàn)就是.（2）以中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系, 由側(cè)面底面可得為平面的法向量，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)與平面內(nèi)兩條直線(xiàn)所在直線(xiàn)的方向向量從而可求出平面的法向量,求二面角的余弦值可用向量法.

試題解析：（1）證明：連接，

因?yàn)?/span>是正方形，為的中點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)，且也是 的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以中，是中位線(xiàn)，所以 ,

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面,

（2）取的中點(diǎn)，建如圖坐標(biāo)系，則相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

所以

因?yàn)閭?cè)面底面，為平面的法向量，

設(shè) 為平面的法向量，

則由∴

∴

設(shè)二面角的大小,則為銳角，

則．

即二面角的余弦值為．

考點(diǎn)：1、線(xiàn)面平行的證明；2、二面角的求法.