Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足Sn=

4

3

an-n(n∈N*)．
（1）求a₁和通項(xiàng)a_n；
（2）令bn=

4n2

[log2(an+1)]2-1

(n∈N*)，求證：

n

i=1

bi＜n+

1

2

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=

4

3

a1-1，所以a₁=3當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

4

3

an-

4

3

an-1-1，由此能求出求a₁和通項(xiàng)a_n，
（2）bn=

4n2

[log2(an+1)]2-1

=

4n2

4n2-1

=1+

1

4n2-1

，由此能夠證明

n

i=1

bi＜n+

1

2

．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=

4

3

a1-1，
∴a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

4

3

an-

4

3

an-1-1，
∴a_n=4a_n-1+3，
∴（a_n+1）=4（a_n-1+1），
∴{a_n+1}是公比為4，首項(xiàng)a₁+1=4等比數(shù)列，
∴an+1=4n，
∴an=4n-1．
（2）bn=

4n2

[log2(an+1)]2-1

=

4n2

4n2-1

=1+

1

4n2-1

=1+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴

n

i=1

bi=n+

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=n+

1

2

-

1

2(2n+1)

＜n+

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，考察了裂項(xiàng)的技巧與放縮法的技巧，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)列通列公式的基本求法的應(yīng)用和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．