Question

17．已知AB是圓C：（x-1）²+y²=1的直徑，點(diǎn)P為直線x-y+3=0上任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值是（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$-1
• B． 1-2$\sqrt{2}$
• C． 7
• D． -7

Answer 1

分析 運(yùn)用平面向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，得出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CB}$）=|$\overrightarrow{PC}$|²-r²，即為d²-r²，
運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，可得d的最小值，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答 解：由 $\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CB}$）
=${\overrightarrow{PC}}^{2}$+$\overrightarrow{PC}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$
=|$\overrightarrow{PC}$|²-r²，
即為d²-r²，其中d為直線x-y+3=0上點(diǎn)到圓心C的距離，r為半徑，
因此當(dāng)d取最小值時(shí)，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值最小，
又d的最小值為d_min=$\frac{|1-0+3|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為2$\sqrt{2}$-1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的問題，注意運(yùn)用向量的平方即為模的平方，以及點(diǎn)到直線的距離公式，是中檔題目．