Question

3．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-2y-2≥0\\ 2x+y-4≥0\\ x-y-3≤0\end{array}\right.$則x²+（y+2）²的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{65}{9}$，25]
• B． [$\frac{36}{5}$，25]
• C． [16，25]
• D． [9，25]

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由x²+（y+2）²的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與定點（0，-2）距離的平方求解．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-2y-2≥0\\ 2x+y-4≥0\\ x-y-3≤0\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-3=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{7}{3}，-\frac{2}{3}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-2=0}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得C（4，1），
由圖可知，點（0，-2）與可行域內(nèi)點B（$\frac{7}{3}，-\frac{2}{3}$）的距離的平方最小為$（\frac{7}{3}）^{2}+（-\frac{2}{3}+2）^{2}=\frac{65}{9}$；
點（0，-2）與可行域內(nèi)點C（4，1）的距離的平方最大為4²+（-2-1）²=25．
∴x²+（y+2）²的取值范圍是[$\frac{65}{9}$，25]．
故選：A．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．