Question

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，有（其中為自然對數(shù)的底，）．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，，求證：當(dāng)時，；

（3）試問：是否存在實數(shù)，使得當(dāng)時，的最小值是3？如果存在，求出實數(shù)的值；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值來證明成立。

（3）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3

【解析】

試題分析：解：（1）當(dāng)時，，

則，

又是奇函數(shù)，

所以，

因此，；                  4分

（2）證明：令，

當(dāng)時，注意到，所以 5分

①   當(dāng)時，注意到，有

；      6分

② 當(dāng)時，

，   7分

故函數(shù)在上是增函數(shù)，從而有，

所以當(dāng)時，有，                         8分

又因為是偶函數(shù)，故當(dāng)時，同樣有，即，

綜上所述，當(dāng)時，有；                         9分

（2）證法二：當(dāng)時，，

求導(dǎo)得，令得，                         5分

于是可得當(dāng)時，；時，，

所以在處取得最大值，所以．     6分

又記，當(dāng)時，有，          7分

求導(dǎo)得，當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增，于是，

所以，在在上總有．               8分

注意到和的偶函數(shù)性質(zhì)，

所以當(dāng)時，有（）；     9分

（3）當(dāng)時，，

求導(dǎo)得，令得，          10分

① 當(dāng)時，，在區(qū)間上是增函數(shù)，故此時函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，不滿足要求；               11分

② 當(dāng)，即時，，

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，此時函數(shù)在區(qū)間的最小值為，

令，得，也不滿足要求；                    12分

③ 當(dāng)時，可得在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，，

令，得，滿足要求．                        13分

綜上可得，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3．   14分

考點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

點評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號于函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來判定單調(diào)性，進(jìn)而得到最值，屬于基礎(chǔ)題