Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上．若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、的距離之和等于4．

（1）寫出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 

（2）x=1．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，由于橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上．若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、的距離之和等于4．則可知2a=4，a=2，再根據(jù)題意得到點(diǎn)在橢圓上解得b=1,G故可知橢圓C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，  　3分

（2）MN斜率不為0，設(shè)MN方程為．              　 4分

聯(lián)立橢圓方程：可得

記M、N縱坐標(biāo)分別為、，

則       7分

設(shè)

則，該式在單調(diào)遞減，所以在，即時(shí)取最大值．綜上，直線MN的方程為x=1．                              10分

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。