Question

8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量$\overrightarrow m=（a+c，a-b）$與向量$\overrightarrow n=（b，a-c）$互相平行，且$c=\sqrt{3}$．
（1）求角C；
（2）求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知，利用向量平行的性質(zhì)及余弦定理可求ab=2abcosC，從而可求cosC，進而可得C的值．
（2）由$C=\frac{π}{3}$，利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得a+b=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），由$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可求A+$\frac{π}{6}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求a+b的取值范圍．

解答 解：（1）∵由題意知：（a+c）（a-c）+b（b-a）=0，
∴由余弦定理可得：a²+b²-c²=ab=2abcosC；
∴可得：$cosC=\frac{1}{2}，C=\frac{π}{3}$．
（2）∵$C=\frac{π}{3}$，
∴$A+B=\frac{2π}{3}$，$a+b=2sinA+2sinB=2sinA+2sin（{\frac{2π}{3}-A}）=2sinA+2sin\frac{2π}{3}cosA-2cos\frac{2π}{3}sinA$
=$2（\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA）=2\sqrt{3}（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA}）=2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}⇒\frac{1}{2}＜sin（{A+\frac{π}{6}}）≤1$．
∴a+b的取值范圍是$（\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．

點評 本題主要考查了向量平行的性質(zhì)及余弦定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．